Question

9．已知點列A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）均為函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，點列B_n（n，0）滿足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，若數(shù)列{b_n}中任意連續(xù)三項能構(gòu)成三角形的三邊，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）∪（1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，1）∪（1，$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出a_n、b_n的解析式，討論a＞1和0＜a＜1時，滿足的條件，從而求出a的取值范圍．

解答 解：由題意得，點B_n（n，0），A_n（a_n，b_n）滿足|A_nB_n|=|A_nB_n+1|，
由中點坐標公式，可得B_nB_n+1的中點為（n+$\frac{1}{2}$，0），
即a_n=n+$\frac{1}{2}$，b_n=${a}^{n+\frac{1}{2}}$；
當(dāng)a＞1時，以b_n-1，b_n，b_n+1為邊長能構(gòu)成一個三角形，
只需b_n-1+b_n+1＞b_n，
b_n-1＜b_n＜b_n+1，
即${a}^{n-\frac{1}{2}}$+${a}^{n+\frac{3}{2}}$＞${a}^{n+\frac{1}{2}}$，
即有1+a²＜a，
解得1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
同理，0＜a＜1時，解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1；
綜上，a的取值范圍是1＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜a＜1，
故選：B．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．