Question

16．已知拋物線y₁═ax²+bx+c與雙曲線y₂=$\frac{k^2}{x}$有三個(gè)交點(diǎn)A（-3，m），B（-1，n），C（2，p）．則不等式ax³+bx²+cx-k²＞0的解集為{x|x＞2或-3＜x＜-1}．

Answer 1

分析 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷出反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)判斷出二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上且對(duì)稱軸在y軸左邊，然后寫(xiě)出二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方部分的x的取值范圍即可．

解答 解：∵k²＞0，
∴反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，
∵拋物線與雙曲線交點(diǎn)為A（-3，m）、B（-1，n）、C（2，p）．
∴拋物線開(kāi)口向上且對(duì)稱軸在y軸左邊，如圖所示，
x＞0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)得，ax²+bx+c＞$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解是x＞2，
x＜0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)得，ax²+bx+c＜$\frac{{k}^{2}}{x}$，
所以，不等式的解集是-3＜x＜-1，
綜上所述，不等式的解集是{x|x＞2或-3＜x＜-1}．
故答案為：{x|x＞2或-3＜x＜-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)與不等式，熟練掌握反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意根據(jù)x的取值范圍分情況討論，作出圖形更形象直觀．