Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過橢圓C的左焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與圓x²+y²=a²相交，所得弦的長度為$\sqrt{7}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為M，若直線l：y=kx+m與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B（A，B都不是上頂點(diǎn)），且直線MA與MB的斜率之積為$\frac{3}{4}$．
（a）求證：直線l過定點(diǎn)；
（b）求△MAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和直線和圓相交的弦長公式，解方程可得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）（a）將直線y=kx+m代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線的斜率公式，化簡整理可得m=-2，進(jìn)而得到直線恒過定點(diǎn)（0，-2）：
（b）運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，由三角形的面積公式，化簡整理，結(jié)合換元法和基本不等式，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
橢圓C的左焦點(diǎn)（-c，0）且傾斜角為60°的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
圓心到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$，
由圓的弦長公式可得$\sqrt{7}$=2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{3{c}^{2}}{4}}$，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）（a）證明：由題意可得M（0，1），
y=kx+m代入橢圓方程x²+4y²-4=0，
即有（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0，
化為1+4k²＞m²，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由題意可得k_MA•k_MB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+m-1}{{x}_{1}}$•$\frac{k{x}_{2}+m-1}{{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（m-1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m-1）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}（4{m}^{2}-4）-8{k}^{2}m（m-1）+（1+4{k}^{2}）（m-1）^{2}}{4{m}^{2}-4}$=$\frac{3}{4}$，
即有m=-2．
則直線為y=kx-2，即有直線l恒過定點(diǎn)（0，-2）；
（b）由（a）可得1+4k²＞4，可得k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{256{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{48}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$，
M到直線的距離為$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
可得△MAB面積為S=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}-3}}{1+4{k}^{2}}$
=6•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-3}}{4{k}^{2}+1}$，令$\sqrt{4{k}^{2}-3}$=t（t＞0），可得4k²=3+t²，
即有S=6•$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=6•$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$≤6•$\frac{1}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{3}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$即t=2，k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$時(shí)，面積取得最大值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和圓的弦長公式，考查直線恒過定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查三角形的面積的最值的求法，注意運(yùn)用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用基本不等式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．