Question

在直角坐標系中，直線與拋物線相交于A、B兩點。
（1）求證：“如果直線過點T（3，0），那么=3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由

Answer 1

逆命題是：設直線交拋物線于A、B兩點，
如果，那么該直線過點T（3，0），該命題是一個假命題
例如：取拋物線上的點A（2，2），B（，1），此時，直線AB的方程是，
而T（3，0）不在直線AB上

（1）證明：設過點T（3，0）的直線交拋物線于點，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線與拋物線相交于點，……4分
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
其中，由
得，則………………………6分
又，

綜上所述，命題“如果直線過點T（3，0），那么”是真命題。……8分
（2）解：逆命題是：設直線交拋物線于A、B兩點，
如果，那么該直線過點T（3，0），該命題是一個假命題……………10分
例如：取拋物線上的點A（2，2），B（，1），此時，直線AB的方程是，
而T（3，0）不在直線AB上………………………………………………14分