10.若A,B是雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上兩個動點,且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,則△AOB面積的最小值是$\frac{3}{2}$.

分析 設直線OA的方程為y=kx,則直線OB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x,設點A(x1,y1),y=kx與雙曲線方程聯(lián)立,可得x12=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$,y12=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$,可求得|OA|2,|OB|2,|OA|2•|OB|2,利用二次函數(shù)的最值求法,即可求得最小值.

解答 解:設直線OA的方程為y=kx,
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,即OA⊥OB,
則直線OB的方程為y=-$\frac{1}{k}$x,
設點A(x1,y1),y=kx與雙曲線方程聯(lián)立,
可得x12=$\frac{3}{3-{k}^{2}}$,y12=$\frac{3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$,
∴|OA|2=x12+y12=$\frac{3+3{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$,
同理|OB|2=$\frac{3+3{k}^{2}}{3{k}^{2}-1}$,
故|OA|2•|OB|2=$\frac{(3+3{k}^{2})^{2}}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}$,
令1+k2=t(t>1),即k2=t-1,
可得$\frac{(3+3{k}^{2})^{2}}{-3{k}^{4}+10{k}^{2}-3}$=$\frac{9{t}^{2}}{-3(t-1)^{2}+10(t-1)-3}$
=$\frac{9{t}^{2}}{-3{t}^{2}+16t-16}$=$\frac{9}{-3+\frac{16}{t}-\frac{16}{{t}^{2}}}$=$\frac{9}{-16(\frac{1}{t}-\frac{1}{2})^{2}+1}$,
由t>1可得0<$\frac{1}{t}$<1,
即有t=2即k=±1時,取得最小值9.
即有|OA|•|OB|≥3,
故S△AOB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|的最小值為$\frac{3}{2}$.
故答案為:$\frac{3}{2}$.

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)與三角形的面積,考查二次函數(shù)的最值的求法,考查轉(zhuǎn)化與運算能力,屬于中檔題.

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