Question

【題目】已知函數(shù)和函數(shù).

（1）若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時,單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）2.

【解析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

(2)易得,再求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)分子的根的存在情況,進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性.

(3)令,再求導(dǎo)分析可得在上單調(diào)遞增,可得.再分與兩種情況分析函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.

解（1）∵,∴,又∵,

曲線在處的切線方程為,

∵切線過點,∴,∴.

（2）的定義域為,

,則,令.

（Ⅰ）當(dāng)即時,

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：.

（Ⅱ）當(dāng)即或時,

有兩個不等的實數(shù)根,,

當(dāng)時,,,∴,

函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為,

當(dāng)時,,,

令,則或,

令,則,

∴單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.

綜上所述, 當(dāng)時,單調(diào)遞增區(qū)間為;

當(dāng)時,單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（3）令,

則,

記,則,所以在上單調(diào)遞增,

故,

當(dāng),,故在上單調(diào)遞增,

所以,符合題意.

當(dāng)時,,故,

又在上單調(diào)遞增,所以存在唯一的實數(shù),使得,

列表如下：

	-	0	+
		極小值

則當(dāng)時,,這與恒成立矛盾.

綜上,實數(shù)的最大值為2.