Question

（本題滿分12分）如圖，已知是底面邊長為1的正四棱柱，
（1）證明：平面平面
（2）當二面角的平面角為120°時，求四棱錐的體積。

Answer 1

（1）見解析；（2）.

本試題主要是考查了同學們的空間想象能力和邏輯推理能力，以及計算能力的綜合運用。對于面面垂直的判定定理的運用和線面垂直的判定定理和性質定理的靈活運用，是解決該試題的關鍵，同時也考查了二面角的求解問題，以及錐體的體積的問題的運用。
（1）要證明面面垂直，先分析線面垂直然后利用面面垂直的判定定理求證。
（2）根據二面角的大小，確定出錐體中邊的問題，以及線面的位置關系，再結合錐體的體積公式求解。
證明：

（1）平面，平面--------------（1分）
，又----------------------------------（2分）
--------------------------------------------------（3分）
又平面
---------------------------------------------（5分）
（2）方法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，設，那么
；；；；------（6分）
；；；-------（7分）
假設平面與平面的法向量分別為；，那么
；令
-----------------------------------------------------------------（8分）
同理可以求得： --------------------------------------（9分）

，-------------------------------（11分）
此時，正四棱柱是棱長為1的正方體，且
四棱錐的體積------------------------------（12分）
方法二：過點作于，連接,
容易證得，=--------------------------------------（7分）
所以，且在中，由余弦定理可得：

所以==，又可證得：------------（9分）
,所以在,由等面積法：
=,
即------------（9分）
所以，---------------------------------------------（11分）
此時，正四棱柱是棱長為1的正方體，且
四棱錐的體積-------------------------------------------（12分）