Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=2

|x|

x2+1

，有下列命題：
①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)；
③f（x）的最大值為1；
④對(duì)任意a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都可做為某一三角形的三邊長．
其中正確的序號(hào)是（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、①④
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出①正確，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式求出函數(shù)的值域?yàn)閇0，

2

]，繼而判斷出②③錯(cuò)誤，④正確

解答： 解：因?yàn)閒（-x）=2

|x|

x2+1

=f（x），所以函數(shù)為偶函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故①正確，
因?yàn)閒（x）=2

|x|

x2+1

，設(shè)g（x）=

|x|

x2+1

，
則g（x）=

1

|x|+ 1 |x|

≤

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取等號(hào)，故0≤g（x）≤

1

2

，
而函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，故函數(shù)的f（x）的值域?yàn)閇1，

2

]，且x∈（-∞，-1），[0，1）上為增函數(shù)，
在[-1，0]，[1，+∞）為減函數(shù)，故②③錯(cuò)誤，
對(duì)任意a，b，c∈R不妨假設(shè)a≤c，b≤c，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)閇1，

2

]，則1≤f（a）≤

2

，1≤f（b）≤

2

，1≤f（c）≤

2

，
則2≤f（a）+f（b）≤2

2

，故f（a）+f（b）＞f（c），故f（a），f（b），f（c）都可做為某一三角形的三邊長．故④正確．
故正確的序號(hào)為①④，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性以及基本不等式，屬于中檔題．