Question

7．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，點D是AB的中點，平面A₁DC分此棱柱成兩部分，多面體A₁ADC與多面體A₁B₁C₁DBC體積的比值為1：5．

Answer 1

分析 設(shè)出棱柱的底面積和高，由D為AB的中點求出三角形ADC的面積，由棱錐體積公式求得多面體A₁ADC的體積，作差得到多面體A₁B₁C₁DBC體積，作比得答案．

解答 解：如圖，設(shè)三棱柱ABC-A₁B_lC₁的底面ABC的面積為S，高為h，
則三棱柱的體積V=Sh，
∵D為AB的中點，∴${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}S$，
三棱錐A₁-ADC的高為h，
∴${V}_{{A}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}Sh=\frac{1}{6}Sh$，
則多面體A₁B₁C₁DBC的體積${V}_{{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}DBC}=Sh-\frac{1}{6}Sh=\frac{5}{6}Sh$，
則多面體A₁ADC與多面體A₁B₁C₁DBC體積的比值為$\frac{\frac{1}{6}Sh}{\frac{5}{6}Sh}=\frac{1}{5}$．
故答案為：1：5．

點評 本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．