Question

已知：a₁＜a₂＜a₃，b₁＜b₂＜b₃，a₁+a₂+a₃=b₁+b₂+b₃，a₁a₂+a₁a₃+a₂a₃=b₁b₂+b₁b₃+b₂b₃且a₁＜b₁，有下列四個(gè)命題
（1）b₂＜a₂；　　 （2）a₃＜b₃； （3）a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃； （4）（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）＞（1-b₁）（1-b₂）（1-b₃）．
其中真命題個(gè)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：設(shè) b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃，由題意得 t₁+t₂+t₃=0，t₁＞0．再由條件得到 a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²，a₁+b₁＜a₂+b₂＜a₃+b₃．從而得到 t₃點(diǎn)處于0點(diǎn)右側(cè)，t₂ 處于0點(diǎn)左側(cè)，t₁＞0，t₂＜0，t₃＞0．故得 b₂＜a₂ ，a₃＜b₃，由于（3）、（4）選項(xiàng)是等價(jià)的，將b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃代入題目條件，化簡(jiǎn)即可得出 a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃，故選項(xiàng)（3）為真命題，此題目真命題為（1）、（2）、（3）、（4），進(jìn)而得出結(jié)論．
解答：設(shè) b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃，由條件1，可得 t₁+t₂+t₃=0．
因已知 a₁＜b₁ ，則t₁＞0，且t₂、t₃中至少有一個(gè)小于零．
則可根據(jù)此在一維坐標(biāo)上作點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)為0，右向?yàn)閤軸正向，則t₁處于0點(diǎn)右側(cè)，此時(shí)，t₂ 、t₃點(diǎn)的位置有三種情況，分別為：
①t₂處于0點(diǎn)右側(cè)，t₃處于0點(diǎn)左側(cè)，則|t₃|=-t₃=t₁+t₂＞0；
②t₃點(diǎn)處于0點(diǎn)右側(cè)，t₂ 處于0點(diǎn)左側(cè)，則|t₂|=-t₂=t₁+t₃＞0；
③t₂點(diǎn)與t₃點(diǎn)同時(shí)處于0點(diǎn)左側(cè)，則|t₁|=t₁=|t₂+t₃|=-t₂+t₃＞0；
結(jié)合題目中所給出的條件，可得 a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²，對(duì)上式進(jìn)行處理得：（ a₁+b₁）t₁+（a₂+b₂）t₂+（a₃+b₃）t₃=0．
由已知條件1可得：a₁+b₁＜a₂+b₂＜a₃+b₃．
結(jié)合前述的一維圖可判斷出只有第 ②情況才符合，即：t₃點(diǎn)處于0點(diǎn)右側(cè)，t₂ 處于0點(diǎn)左側(cè)，t₁＞0，t₂＜0，t₃＞0．
因此，可得出 b₂＜a₂，a₃＜b₃ ．
再對(duì)題目的（3）、（4）選項(xiàng)分析，可得出，（3）、（4）選項(xiàng)是等價(jià)的． 因此我們只需要判斷第（3）選項(xiàng)是否正確即可．
判斷方法：將b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃代入題目條件，化簡(jiǎn)即可得出 a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃，故選項(xiàng)（3）為真命題．
總結(jié)：此題目真命題為（1）、（2）、（3）、（4）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式與不等關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．