Question

19．已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為銳角，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2A，2cos²$\frac{A}{2}$-1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求A的大小；
（2）如果a=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量共線的性質，二倍角公式求得tan2A的值，可得A的值．
（2）由條件利用余弦定理、基本不等式求得bc的最大值，可得△ABC面積$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值．

解答 解：（1）∵△ABC中，向量$\overrightarrow{m}$=（2sinA，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（cos2A，2cos²$\frac{A}{2}$-1），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴2sinA•（2cos²$\frac{A}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos2A=0，即2sinA•（cosA）+$\sqrt{3}$cos2A=0，
即sin2A=-$\sqrt{3}$cos2A，即tan2A=-$\sqrt{3}$．
∵A為銳角，故0°＜2A＜180°，∴2A=120°，A=60°．
（2）如果a=2，△ABC中，由余弦定理可得a²=4=b²+c²-2bc•cosA≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，故△ABC面積$\frac{1}{2}$bc•sinA的最大值為$\frac{1}{2}$•4•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量共線的性質，二倍角公式，余弦定理以及基本不等式的應用，屬于中檔題．