Question

炮彈在某處爆炸，在F₁（-5000，0）處聽到爆炸聲的時間比在F₂（5000，0）處晚

300

17

秒．已知坐標軸的單位長度為1米，聲速為340米/秒，爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上？并求爆炸點所在的曲線方程．

Answer 1

分析：由聲速為340米/秒可知F₁、F₂兩處與爆炸點的距離差為340×

300

17

=6000（米），因此爆炸點P在以F₁、F₂為焦點（可得c=5000）的雙曲線上，滿足|PF₁|-|PF₂|=6000=2a，再利用b²=c²-a²，即可得到雙曲線的方程．

解答：解：由聲速為340米/秒可知F₁、F₂兩處與爆炸點的距離差為340×

300

17

=6000（米），因此爆炸點在以F₁、F₂為焦點的雙曲線上．
因為爆炸點離F₁處比F₂處更遠，所以爆炸點應(yīng)在靠近F₂處的一支上．
設(shè)爆炸點P的坐標為（x，y），則
|PF₁|-|PF₂|=6000，即2a=6000，a=3000．
而c=5000，∴b²=5000²-3000²=4000²，
∵|PF₁|-|PF₂|=6000＞0，∴x＞0，
所求雙曲線方程為

x2

30002

-

y2

40002

=1（x＞0）．

點評：熟練掌握雙曲線的定義及其標準方程是解題的關(guān)鍵．