Question

16．△ABC的內(nèi)角為A、B、C，其中A=$\frac{π}{4}$，cosC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，BC=$\sqrt{10}$．點D是邊AC的中點，則中線BD的長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的關系可求sinC，進而利用兩角和的正弦公式算出sinB，再正弦定理，即可解DC的長，利用余弦定理即可解得BD的值．

解答 解：設三角形三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c．
∵A=$\frac{π}{4}$，cosC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，BC=$\sqrt{10}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
可得sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理，得b═$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=4；
故DC=2．
∵在△BDC中，由余弦定理，得BD²=CD²+CB²-2CD•BC•cosC=4+10-2×2×$\sqrt{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=2，
∴解得：AC邊的中線BD的長等于$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題著重考查了同角三角函數(shù)關系、兩角和的正弦公式和正、余弦定理解三角形等知識，考查了計算了和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．