Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，以O(shè)F（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓C角雙曲線于A，B兩點(diǎn)，AE與圓C相切，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}+3\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相切以及點(diǎn)A在雙曲線上，結(jié)合余弦定理以及雙曲線的定義建立關(guān)于a，c的方程進(jìn)行求解即可．

解答 解：由橢圓的方程得E（-c，0），F(xiàn)（c，0），C（$\frac{c}{2}$，0），
∵AE與圓C相切，同時A是圓與雙曲線的交點(diǎn)，∴A實(shí)數(shù)切點(diǎn)，則AE⊥AC，
則AC=$\frac{c}{2}$，CE=c+$\frac{c}{2}$=$\frac{3}{2}$c，
則AE=$\sqrt{（\frac{3c}{2}）^{2}-（\frac{c}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
cos∠ACE=$\frac{A{C}^{2}+C{E}^{2}-A{E}^{2}}{2AC•CE}$=$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}+\frac{9{c}^{2}}{4}-2{c}^{2}}{2×\frac{c}{2}×\frac{3c}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
則cos∠ACF=-cos∠ACE=-$\frac{1}{3}$，
則AF²=AC²+CF²-2AC•CFcos∠ACF=$\frac{{c}^{2}}{4}$+$\frac{{c}^{2}}{4}$+2×$\frac{c}{2}$×$\frac{c}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$c²，
則AF=$\sqrt{\frac{2}{3}}$c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c，
∵點(diǎn)A在雙曲線上，
∴AE-AF=2a，
即$\sqrt{2}$c-$\frac{\sqrt{6}}{3}$c=2a，
即$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{3}$c=2a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}$=$\frac{6（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{18-6}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)直線和圓相切以及雙曲線的定義，余弦定理求出相應(yīng)的邊長是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．