Question

18．對(duì)于中心在原點(diǎn)，離心率也相同的n個(gè)橢圓，其方程分別為：C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}=1$（0＜λ＜1，a＞0），C₂：$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{4}{a}^{2}}$=1，…，C_n：$\frac{{x}^{2}}{{λ}^{2（n-1）}{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{λ}^{2n}{a}^{2}}$=1，即第i個(gè)橢圓的短軸的等于第i+1個(gè)橢圓的長軸，則稱這n個(gè)橢圓為相似橢圓系，并稱λ為此相似橢圓系的相似比，若橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$，則第3個(gè)橢圓C₃的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)相似橢圓系的定義，結(jié)合已知中橢圓C₁的方程，求出相似橢圓系的相似比λ，進(jìn)而可得答案．

解答 解：根據(jù)相似橢圓系的定義，可得：圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$時(shí)，相似橢圓系的相似比λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故第2個(gè)橢圓C₂的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
第3個(gè)橢圓C₃的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．