Question

(本小題滿分14分)
已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí)，
(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和；
(2)證明：對于數(shù)列，一定存在，使；
(3)令,當(dāng)時(shí)，求證：

Answer 1

(1)
.
(2)證明：見解析；
(3)   

(1)解本小題的關(guān)鍵是確定當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1.
(2)本小題易采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.再由n=k+1時(shí)成立時(shí)，一定要用上n=k時(shí)的歸納假設(shè)，否則證明無效.
(3)先由,再求出.
從而
然后再討論n是奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進(jìn)行證明.
解：(1)當(dāng)a=100時(shí)，由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100，公差為-3的等差數(shù)列，從第35項(xiàng)開始，奇數(shù)項(xiàng)均為3，偶數(shù)項(xiàng)均為1，從而
………………(3分)
.………………(5分)
(2)證明：①若0<a₁≤3,則題意成立…………………(6分)
②若a₁>3此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足a_n-a_n-1=3,即a_n=a₁-3(n-1).
設(shè),則當(dāng)n=k+1時(shí)，
從而此時(shí)命題成立……(8分)
③若a₁≤0，由題意得a₂=4-a₁>3，則有②的結(jié)論知此時(shí)命題也成立．
綜上所述，原命題成立……………(9分)
(3)當(dāng)2<a<3時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232235076461081.png" style="vertical-align:middle;" />
所以 ……………(10分)
因?yàn)閎_n>0，所以只要證明當(dāng)n≥3時(shí)不等式成立即可．而

………………………………(12分)
①當(dāng)n=2k(k∈N^*且k≥2)時(shí)，

…（13分）
②當(dāng)n=2k-l(k∈N^*且k≥2)時(shí)，出于b_n>0，所以
綜上所述，原不等式成立………(14分)