Question

（本小題滿分12分）

如圖，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中， AC = BC = AA₁，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．

（Ⅰ）證明：DC₁⊥BC；

（Ⅱ）求二面角A₁−BD−C₁的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析;（Ⅱ）二面角A₁−BD−C₁的大小為30^o．

【解析】

試題分析：（I）易證DC₁⊥BD,再根據(jù)勾股定理證DC₁⊥DC,從而可證得DC₁⊥平面DCB,得到DC₁⊥BC.

(II)求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取A₁B₁的中點為M，連結(jié)C₁M、DM,證明∠C₁DM是A₁−BD−C₁的平面角即可.

（Ⅰ）證明：由題設知，三棱柱的側(cè)面為矩形．

∵D是AA₁的中點， ∴ DC = DC₁

又 AC = AA₁，∴ DC₁² + DC²  = CC₁²

∴ DC₁⊥DC

又 DC₁⊥BD，且DC₁∩DC = D

∴ DC₁⊥平面DCB．

∴ DC₁⊥BC

（Ⅱ）  由（Ⅰ）知，DC₁⊥BC，

又CC₁⊥BC， DC₁∩CC₁ = C₁

∴ BC⊥平面CDC₁

∵ B₁C₁∥BC      ∴B₁C₁⊥平面CDC₁

∴ B₁C₁⊥A₁C₁，△A₁C₁B₁為等腰直角三角形

取A₁B₁的中點為M，連結(jié)C₁M、DM

∵ 直棱柱的底面A₁B₁C₁⊥側(cè)面AB₁，C₁M⊥A₁B₁

∴ C₁M⊥平面AB₁，C₁M⊥BD．

由（Ⅰ）知，DC₁⊥平面DCB，∴DC₁⊥BD

又C₁M∩DC₁ = C₁，∴BD⊥平面C₁MD    MD⊥BD

∴∠C₁DM是A₁−BD−C₁的平面角．

在Rt △C₁MD中，C₁M = A₁C₁，C₁D =  = A₁C₁，

∴sin∠C₁DM =  = ， ∴∠C₁DM = 30^o

∴二面角A₁−BD−C₁的大小為30^o．

考點：本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關(guān)系，以及二面角等知識.

點評：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是求解空間的角與距離的關(guān)鍵.求角的步驟為：一作，二證，三指，四求.