Question

17．一小型機(jī)械加工廠生產(chǎn)某種零件的年固定成本為15萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入1.6萬元．設(shè)該加工廠一年內(nèi)生產(chǎn)該種零件x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為P（x）萬元，且P（x）=$\left\{\begin{array}{l}{11.6-\frac{1}{30}{x}^{2}，0＜x≤12}\\{\frac{106}{x}-\frac{250}{{x}^{2}}，x＞12}\end{array}\right.$
（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該工廠在這種零件的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大．
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可寫出年利潤W（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x≤12時(shí)，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（11.6-$\frac{{x}^{2}}{30}$）-（15+1.6x）=10x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-15．
當(dāng)x＞12時(shí)，W（x）=xP（x）-（15+1.6x）=x（$\frac{106}{x}$-$\frac{250}{{x}^{2}}$）-（15+1.6x）=91-$\frac{250}{x}$-1.6x，
∴W（x）=$\left\{\begin{array}{l}{10x-\frac{{x}^{3}}{30}-15，}&{0＜x≤12}\\{91-\frac{250}{c}-1.6x，}&{x＞12}\end{array}\right.$．
（2）①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，由W′（x）=10-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，得x=10，
又當(dāng)x∈（10，12]時(shí)，W′（x）＜0，即W（x）在（10，12]上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（0，10）時(shí)，W′（x）＞0，即W（x）在（0，10）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=10時(shí)，W（x）_max=W（10）=100-$\frac{100}{3}$-15=51$\frac{2}{3}$．
②當(dāng)x＞12，W=91-$\frac{250}{x}$-1.6x=91-（$\frac{250}{x}$+1.6）≤91-2$\sqrt{\frac{250}{x}•1.6x}$=51，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{250}{x}$=1.6x時(shí)，即x=$\frac{25}{2}$時(shí)，W（x）_max=51，
由①②知，當(dāng)x=10時(shí)，W取最大值51$\frac{2}{3}$萬元．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．