Question

函數(shù)y=f（x）為定義在R上的增函數(shù)，對任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，設z=x+2y，x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，則當1≤x≤4時，z的取值范圍是

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：首先根據(jù)條件對任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，以及f（x）為定義在R上的增函數(shù)，將f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0化為x²-2x≥y²-2y，在同一直角坐標系中，作出1≤x≤4，且（x-y）（x+y-2）≥0的可行域，畫出目標函數(shù)z=x+2y=0的圖象，將其平移觀察即可得到z=x+2y的最值．

解答： 解：∵對任意的x∈R都有f（x）+f（-x）=0，
∴-f（x）=f（-x），
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≥0，即f（x²-2x）≥-f（2y-y²），
∴f（x²-2x）≥f（-2y+y²），
∵函數(shù)y=f（x）為定義在R上的增函數(shù)，
∴x²-2x≥y²-2y，即（x-y）（x+y-2）≥0，
在同一直角坐標系中，作出1≤x≤4，且（x-y）（x+y-2）≥0的可行域，
畫出目標函數(shù)z=x+2y=0的圖象，將其平移觀察，
經(jīng)過點A（4，-2），z取最小值0；
經(jīng)過點B（4，4），z取最大值12．
∴當1≤x≤4時，z的取值范圍是[0，12]．
故答案為：[0，12]．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查運用線性規(guī)劃求目標函數(shù)的最值的方法，注意正確畫圖作出可行域，再平移，考查轉化的數(shù)學思想方法．