Question

設(shè)定義在[a，b]（a≥-4）上的函數(shù)f（x），若函數(shù)g(x)=f(

x+4

+2m)與f（x）的定義域與值域都相同，則實數(shù)m的取值范圍為

(-

17

8

，-2]

．

Answer 1

分析：令t=

x+4

+2m，由題意知函數(shù)t=

x+4

+2m的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4），由于函數(shù)t=

x+4

+2m在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，從而可轉(zhuǎn)化為方程

x+4

+2m=x在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個不等的根．構(gòu)造函數(shù)y=

x+4

，y=x-2m，進一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個不同交點，從而得解．

解答：解：令t=

x+4

+2m，由題意知函數(shù)t=

x+4

+2m的定義域與值域均為[a，b]（a≥-4）
又函數(shù)t=

x+4

+2m在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以

a+4 +2m=a b+4 +2m=b

，即方程

x+4

+2m=x在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個不等的根．
如圖，構(gòu)造函數(shù)y=

x+4

，y=x-2m則可知直線與拋物線相切時，兩函數(shù)圖象有一個交點，過點（-4，0）時，有兩個交點．
當直線與拋物線相切時，

x+4

=x-2m，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴m=-

17

8

當直線過點（-4，0）時，-4-2m=0，∴m=-2
根據(jù)圖象可知，實數(shù)m的取值范圍為(-

17

8

，-2]
故答案為：(-

17

8

，-2]

點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為方程

x+4

+2m=x在區(qū)間[-4，+∞）內(nèi)有兩個不等的根，從而利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．