【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.
【答案】
(1)解:由題意知, , 即b=
又a2=b2+c2
∴a=2,b=
故橢圓的方程為
(2)解:由題意知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=k(x﹣4)
由 可得:(3+4k2)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0
設A(x1,y1),B (x2,y2),則△=322k4﹣4(3+4k2)(64k2﹣12)>0
∴
∴x1+x2= ,x1x2= ①
∴ =x1x2+y1y2=
=
=
=
∵
∴
∴
∴
(3)證明:∵B,E關于x軸對稱
∴可設E(x2,﹣y2)
∴直線AE的方程為
令y=0可得x=
∵y1=k(x1﹣4),y2=k(x2﹣4)
∴ = =1
∴直線AE與x軸交于定點(1,0)
【解析】(1)由題意知, ,利用點到直線的距離公式可求b,結合a2=b2+c2可求a,即可求解(2)由題意設直線l的方程為y=k(x﹣4),聯(lián)立直線與橢圓方程,設A(x1 , y1),B (x2 , y2),根據方程的根與系數關系求出x1+x2 , x1x2 , 由△>0可求k的范圍,然后代入 =x1x2+y1y2= = 中即可得關于k的方程,結合k的范圍可求 的范圍(3)由B,E關于x軸對稱可得E(x2 , ﹣y2),寫出AE的方程,令y=0,結合(2)可求
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】關于平面向量,有下列四個命題:
①若 .
② =(1,1), =(2,x),若 與 平行,則x=2.
③非零向量 和 滿足| |=| |=| |,則 與 的夾角為60°.
④點A(1,3),B(4,﹣1),與向量 同方向的單位向量為( ).
其中真命題的序號為 . (寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某小學對五年級的學生進行體質測試,已知五年一班共有學生30人,測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如圖(單位:cm): 男生成績在175cm以上(包括175cm)定義為“合格”,成績在175cm以下(不包括175cm)定義為“不合格”.
女生成績在165cm以上(包括165cm)定義為“合格”,成績在165cm以下(不包括165cm)定義為“不合格”.
(1)求五年一班的女生立定跳遠成績的中位數;
(2)在五年一班的男生中任意選取3人,求至少有2人的成績是合格的概率;
(3)若從五年一班成績“合格”的學生中選取2人參加復試,用X表示其中男生的人數,寫出X的分布列,并求X的數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校從高一年級A,B兩個班中各選出7名學生參加物理競賽,他們的成績(單位:分)的莖葉圖如圖所示,其中A班學生的平均分是85分
(1)求m的值,并計算A班7名學生成績的方差s2;
(2)從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生,求至少有一名A班學生的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0, ).
(1)若 ⊥ ,求tanx的值;
(2)若 與 的夾角為 ,求x的值.
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【題目】已知a>0,b>0,且a2+b2= ,若a+b≤m恒成立, (Ⅰ)求m的最小值;
(Ⅱ)若2|x﹣1|+|x|≥a+b對任意的a,b恒成立,求實數x的取值范圍.
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