Question

已知m是非零常數，且f（x+m）=

1+f(x)

1-f(x)

，試判斷f（x）是否為周期函數，若是，求出它的一個周期T；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：根據解析式得出f（x+2m）=

1+f(x+m)

1-f(x+m)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

=-

1

f(x)

，f（x+4m）=-

1

f(x+2m)

=f（x），即可判斷周期．

解答： 解：∵m是非零常數，且f（x+m）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（x+2m）=

1+f(x+m)

1-f(x+m)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=

2

-2f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4m）=-

1

f(x+2m)

=f（x），
∴f（x）是周期函數，周期為T=4m．

點評：本題考查了運用函數解析式的運用，求解函數周期，判斷周期，屬于容易題，但是必需認真化簡．