Question

圓有如下兩個(gè)性質(zhì)：（1）圓上任意一點(diǎn)與任意不過(guò)該點(diǎn)的圓的直徑的兩端點(diǎn)的連線的斜率（若斜率存在）之積為定值－1；（2）圓的任意一條弦的中點(diǎn)與圓心的連線的斜率（若斜率存在）與該弦的斜率（若斜率存在）之積為定值－1。
（Ⅰ）試探究：橢圓上的任意一點(diǎn)與任意過(guò)橢圓中心但不過(guò)該點(diǎn)的弦的端點(diǎn)連線的斜率（若斜率存在）之積是否為定值，若是請(qǐng)求出該定值；
（Ⅱ）寫(xiě)出類比圓的性質(zhì)（2）得到的橢圓的類似性質(zhì)，并證明之。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，AB為橢圓的任意一條過(guò)中心的弦，且，則，
則：，，
兩式作差得：；
，，
則，
則橢圓上的任意一點(diǎn)與任意過(guò)橢圓中心的弦的端點(diǎn)連線的斜率之積為定值。
（Ⅱ）橢圓的任意一條弦的中點(diǎn)與橢圓中心的連線的斜率（若斜率存在）與該弦的（若斜率存在）之積為定值。
證明：設(shè)AB為橢圓的任意一條不平行與坐標(biāo)軸的弦，，AB中點(diǎn)，橢圓中心O，AB的方程為，
聯(lián)立
并整理得：，
由韋達(dá)定理：，
則：，
，
。