Question

2．已知在數(shù)列{a_n}中，a_n=1+a+a²+…+a^n-1，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 先通過(guò)對(duì)，a=0時(shí)討論，當(dāng)a≠0時(shí)，a=1與a≠1的討論分別利用公式法求解數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而即可求出數(shù)列的和．

解答 解：當(dāng)a=0，a_n=1，則前n項(xiàng)和Sn=n，
當(dāng)a≠0，當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式${a}_{n}=1+a+{a}^{2}+{a}^{3}+$…+a^n-1=n
∴Sn=a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
當(dāng)a≠1時(shí)，有a_n=1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{a-1}{a}^{n}$
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=$（\frac{1}{1-a}+\frac{a}{a-1}）$+$（\frac{1}{1-a}+\frac{{a}^{2}}{a-1}）$…$（\frac{1}{1-a}+\frac{{a}^{n}}{a-1}）$
=$\frac{n}{1-a}+\frac{1}{a-1}\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$
$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．
a=0時(shí)Sn=n
當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=$\frac{1}{2}n（n+1）$
a≠1時(shí)，${S}_{n}=\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．