已知向量
a
=(cos4x-sin4x，2sinx)，
b
=(-1，
3
cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=
a
•
b
 ， x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在[0，
π
2
]上的最小值及取得最小值時的x值．
分析：通過向量計算，求出f(x)=
a
•
b
， x∈R，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，
（Ⅰ）直接求f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（Ⅱ）在[0，
π
2
]上確定2x-
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]，然后求f（x）的最小值及取得最小值時的x值．
解答：解：（Ⅰ）由f(x)=
a
•
b
=sin4x-cos4x+2
3
sinx•cosx
f(x)=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+
3
sin2x
=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)
∴T=
2π
|ω|
=π
設(shè)2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
3
2
π，(k∈Z)
則kπ+
π
3
≤x≤kπ+
5
6
π，(k∈Z)
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+
π
3
，kπ+
5
6
π](k∈Z)
（Ⅱ）∵x∈[0，
π
2
]
∴2x-
π
6
∈[-
π
6
，
5π
6
]
從而f(x)=2sin(2x-
π
6
)∈[-1，2]
∴f（x）在[0，
π
2
]上的最小值為-1，此時x=0．
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，平面向量數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，考查計算能力，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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