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9.設函數(shù)f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)若關于x的方程f(x)+x2-3x-a=0在區(qū)間[2,4]內恰有兩個相異的實根,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)確定出函數(shù)的定義域是解決本題的關鍵,利用導數(shù)作為工具,求出該函數(shù)的單調區(qū)間即可;
(2)方法一:利用函數(shù)思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵.構造函數(shù),研究構造函數(shù)的性質尤其是單調性,列出該方程有兩個相異的實根的不等式組,求出實數(shù)a的取值范圍.
方法二:先分離變量再構造函數(shù),利用函數(shù)的導數(shù)為工具研究構造函數(shù)的單調性,根據(jù)題意列出關于實數(shù)a的不等式組進行求解.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(1,+∞),
∵f′(x)=2[1x1-(x-1)]=-2xx2x1,
∵x>1,則使f'(x)>0的x的取值范圍為(1,2),
令f′(x)<0,解得:x>2,
故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,2),遞減區(qū)間是(2,+∞);
(2)方法1:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2
∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln(x-1)=0.
令g(x)=x+a+1-2ln(x-1),
∵g'(x)=1-2x1=x3x1,且x>1,
由g'(x)>0得x>3,g'(x)<0得1<x<3.
∴g(x)在區(qū)間[2,3]內單調遞減,在區(qū)間[3,4]內單調遞增,
故f(x)+x2-3x-a=0在區(qū)間[2,4]內恰有兩個相異實根
?{g20g30g40{a+30a+42ln20a+52ln30解得:2ln3-5≤a<2ln2-4.
綜上所述,a的取值范圍是[2ln3-5,2ln2-4).
方法2:∵f(x)=2ln(x-1)-(x-1)2,
∴f(x)+x2-3x-a=0?x+a+1-2ln(x-1)=0.
即a=2ln(x-1)-x-1,令h(x)=2ln(x-1)-x-1,
∵h'(x)=2x1-1=3xx1,且x>1,
由h'(x)>0得1<x<3,h'(x)<0得x>3.
∴h(x)在區(qū)間[2,3]內單調遞增,在區(qū)間[3,4]內單調遞減.
∵h(2)=-3,h(3)=2ln2-4,h(4)=2ln3-5,又h(2)<h(4),
故f(x)+x2-3x-a=0在區(qū)間[2,4]內恰有兩個相異實根?h(4)≤a<h(3).
即2ln3-5≤a<2ln2-4.
綜上所述,a的取值范圍是[2ln3-5,2ln2-4).

點評 本題考查導數(shù)的工具作用,考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的知識.考查學生對方程、函數(shù)、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想,將方程的根的問題轉化為函數(shù)的圖象交點問題,屬于綜合題型.

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