Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
（1）求實數(shù)a的值
（2）若關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，x=1取得極小值從而有f'（1）=0，代入可求a
（2）由關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，?關(guān)于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數(shù)解，?y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點

解答：解：（1）由函數(shù)f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，x=1取得極小值∴f'（1）=0…（2分）
∵f'（x）=-x³+2x²+2ax-2
∴f'（1）=-1+2+2a-2=0⇒a=

1

2

…（4分）
（2）由（1）知f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2，
∴f'（x）=-x³+2x²+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2），…（5分）
令f'（x）=0得x=1，x=-1，x=2

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	增	f(-1)=- 5 12	減	f(1)=- 37 12	增	f(2)=- 8 3	減

所以函數(shù)f（x）有極大值f(-1)=-

5

12

，f(2)=-

8

3

，極小值f(1)=-

37

12

f（x）的示意圖如圖
因關(guān)于x的方程f（2^x）=m有三個不同實數(shù)解，令2^x=t（t＞0）
即關(guān)于t的方程f（t）=m在t∈（0，+∞）上有三個不同實數(shù)解，即y=f（t）的圖象與直線y=m在t∈（0，+∞）上有三個不同的交點．
而y=f（t）的圖象與y=f（x）的圖象一致．又f（0）=-2由圖可知-

37

12

＜m＜-

8

3

…（10分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的極值之間的關(guān)系的應用，函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化的思想的應用．