Question

已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)（1，）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=kx-2與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，在OA上存在一點(diǎn)M，OB上存在一點(diǎn)N，使得，若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，求直線斜率k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)橢圓E的方程為 ，
∵=，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，），
∴橢圓的方程為 ．
（Ⅱ）記A、B 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），
消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞，
由韋達(dá)定理 ，，∵原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON，即 =0，∵，M在OA上，N在OB上，
∴=0，又 =（x₁，y₁ ），=（x₂，y₂ ），
∴=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）-2k+4=0．
∴k²=＞，∴k=±．
分析：（Ⅰ）依題意設(shè)出橢圓E的方程，根據(jù)離心率的值以及橢圓經(jīng)過點(diǎn)（1，），待定系數(shù)法求出橢圓的方程．
（Ⅱ）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用OM⊥ON 及，
通過=0，解方程求出k的值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算．