Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；

⑵若對(duì)恒成立，求的最小值；

⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析，；（2）3；（3）

【解析】

試題分析：（1）要證數(shù)列是等比數(shù)列，可根據(jù)題設(shè)求出，當(dāng)然也可再求，雖然得出的成等比數(shù)列，但前面有限項(xiàng)成等比不能說(shuō)明所有項(xiàng)都成等比，必須嚴(yán)格證明．一般方法是把已知式中的用代換得到，兩式相減得，這個(gè)式子中把用代換又得，兩式再相減，正好得出數(shù)列的前后項(xiàng)關(guān)系的遞推關(guān)系，正是等比數(shù)列的表現(xiàn)．（2）由題間，對(duì)不等式用分離參數(shù)法得，求的最小值就與求的最大值（也只要能是取值范圍）聯(lián)系起來(lái)了．（3）只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式，這個(gè)等式是關(guān)于的二元方程，它屬于不定方程，有無(wú)數(shù)解，只是由于都是正整數(shù)，利用正整數(shù)的性質(zhì)可得出具體的解．

試題解析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，

當(dāng)n3時(shí)，有 得：

化簡(jiǎn)得：    3分

又    ∴

∴是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列

      6分

（2）

∴    ∴      11分

（3）若三項(xiàng)成等差，則有

，右邊為大于2的奇數(shù)，左邊為偶數(shù)或1，不成立

∴      16分

考點(diǎn)：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）不等式恒成立與函數(shù)的最值；（3）不定方程的正整數(shù)解問(wèn)題．