Question

1．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（x）=x²，若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化不等式f（x-a）≥f（3x+1）為函數(shù)的最值問題，解不等式即可．

解答 解：∵當(dāng)x≥0時，f（x）=x²，
∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
若對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
則x+a≥3x+1恒成立，即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）_max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤-5，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-5]；
故答案為：（-∞，-5]；

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．