Question

已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若函數(shù)求函數(shù)的最小值；

(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得

對于一切不小于2的自然數(shù)恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）=n （2）（3）存在，證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)P（）代入直線x y 1=0得到，可知數(shù)列{}是等差數(shù)列.最后寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=n.（2）首先求出的表達(dá)式，通過判斷的符號，確定的單調(diào)性，從而求出最小值.（3）求出，S_n的表達(dá)式，可得，

由該遞推公式可得到，即，故.

試題解析：（1）點(diǎn)P（）在直線x y 1=0上，即且a₁=1，

數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）

=n（）a₁=1滿足=n，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為=n.

（2）

是單調(diào)遞增，故的最小值是

（3）

，

即    ，

.

故存在關(guān)于n的整式使等式對一切不小于2的自然數(shù)n恒成立.

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的前n項(xiàng)和和增減性；3.數(shù)列的遞推公式