設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸，離心率e=，已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

思路解析：利用橢圓的參數(shù)方程或范圍，在橢圓上找到與點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)，使問(wèn)題得以突破.

解法一：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為（其中a＞b＞0，0≤θ＜2π

由e2==1-()2=,得a=2b.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d，

由d2=x2+(y-)2=a2cos2θ+(bsinθ-)2=-3b2(sinθ+)2+4b2+3.

如果＞1，即b＜,

那么當(dāng)sinθ=-1時(shí),d2取得最大值（）2=(b+)2.

由此得b=-＞與b＜矛盾.

因此必有≤1,此時(shí)當(dāng)sinθ=-時(shí),

d2取得最大值()2=4b2+3，

解得b=1,a=2.

所求橢圓的參數(shù)方程是

由sinθ=-,cosθ=±求得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)是(-,-)與(,-).

解法二：設(shè)所求橢圓的方程為+=1（a＞b＞0）,

由e2==1-()2=，解得=.

設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x,y）到點(diǎn)P的距離為d.

則d2=x2+(y-)2=a2-y2+(y-)2

=-3y2-3y+4b2+=-3(y+)2+4b2+3,其中-b≤y≤b.

如果b＜，則當(dāng)y=-b時(shí)，d2取得最大值()2=(b+)2,

解得b=-＞與b＜矛盾,故必有b≥.

當(dāng)y=-時(shí)d2取得最大值()2=4b2+3，解得b=1,a=2,

所求橢圓方程為+y2=1.

由y=-可求得到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)為（±，-）.

方法歸納

    與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題，�？紤]利用參數(shù)方程，或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)利用橢圓的范圍求解，還可以考慮幾何法，特別是直線(xiàn)與橢圓，在相切時(shí)取得最值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=
3
2
，已知點(diǎn)P（0，
3
2
）到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離是
7
．求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于
7
的點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上,離心率e=,已知點(diǎn)P(0,)到這個(gè)橢圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為,求這個(gè)橢圓方程,并求橢圓上到點(diǎn)P的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是4，求這個(gè)橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1 2.1橢圓練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=，已知點(diǎn)P（0，）到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓方程。

 

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