【答案】
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù),對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論,利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)確定f(x)的極大值為f(0)=a+b,f(x)的極小值為f(a)=a+b-a
3,要使f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則
,從而得證;
(III)先確定|x
1-x
2|=
,并求得其最小值,假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件,則m
2+tm+1≤(
)
min,即m
2+tm+1≤4,即m
2+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,從而可求m的范圍.
解答:(I)解:∵f′(x)=6x
2-6ax=6x(x-a),
當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=6x≥0,于是f(x)在R上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>0時(shí),x∈(0,a),f′(x)<0,得f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;
x∈(-∞,0)∪(a,+∞),f′(x)>0,得f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時(shí),x∈(a,0),f′(x)<0,得f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減;
x∈(-∞,a)∪(0,+∞),f′(x)>0,得f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上所述:當(dāng)a=0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞);
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,0),(a,+∞),f(x)的減區(qū)間為(0,a);
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,a),(0,+∞),f(x)的減區(qū)間為(a,0).…(3分)
(II)證明:當(dāng)a>0時(shí),由(I)得f(x)在(-∞,0),(a,+∞)上是增函數(shù),f(x)在(0,a)上是減函數(shù);
則f(x)的極大值為f(0)=a+b,f(x)的極小值為f(a)=a+b-a
3.
要使f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),則
,即
可得-a<b<a
3-a.…(8分)
(III)解:由2x
3-3ax
2+a+b=x
3-2ax
2+3x+a+b,得x
3-ax
2-3x=0即x(x
2-ax-3)=0,
由題意得x
2-ax-3=0有兩非零實(shí)數(shù)根x
1,x
2,則x
1+x
2=a,x
1x
2=-3,
∴|x
1-x
2|=
.
∵f (x)在[1,2]上是減函數(shù),
∴f′(x)=6x
2-6ax=6x(x-a)≤0在[1,2]上恒成立,其中x-a≤0即x≤a在[1,2]上恒成立,
∴a≥2.
∴
≥4.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿足條件,則m
2+tm+1≤(
)
min,即m
2+tm+1≤4,即m
2+tm-3≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
∴
,解得
≤m≤
.
∴存在實(shí)數(shù)m滿足條件,此時(shí)m∈[
,
]. …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,考查函數(shù)的極值與最值,考查恒成立問(wèn)題,綜合性強(qiáng).