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15.在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=13
(I)求sinA的值; 
(II)設(shè)b=6,求△ABC的面積.

分析 (I)由已知可求C-A=\frac{π}{2},結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求A=\frac{π}{4}-\frac{B}{2},利用兩角差的正弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)求值.
(Ⅱ)由正弦定理可求BC=\frac{ACsinA}{sinB}的值,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.

解答 解:(I)由sin(C-A)=1,可得:C-A=\frac{π}{2},且C+A=π-B,
∴A=\frac{π}{4}-\frac{B}{2}
∴sinA=sin(\frac{π}{4}-\frac{B}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\frac{B}{2}-sin\frac{B}{2}),
∴sin2A=\frac{1}{2}(1-sinB)=\frac{1}{3},又sinA>0,
∴sinA=\frac{\sqrt{3}}{3}
(Ⅱ)由正弦定理得\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA},可得:BC=\frac{ACsinA}{sinB}=\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{3}}=3\sqrt{2},
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}
∴S△ABC=\frac{1}{2}AC•BC•sinC=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}=3\sqrt{2}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,兩角差的正弦函數(shù)公式,正弦定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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