(2013•上海)已知拋物線C:y2=4x 的焦點為F.
(1)點A,P滿足
AP
=-2
FA
.當(dāng)點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程;
(2)在x軸上是否存在點Q,使得點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點在拋物線C上?如果存在,求所有滿足條件的點Q的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
分析:(1)設(shè)出動點P和A的坐標(biāo),求出拋物線焦點F的坐標(biāo),由
AP
=-2
FA
得出P點和A點的關(guān)系,由代入法求動點P的軌跡方程;
(2)設(shè)出點Q的坐標(biāo),在設(shè)出其關(guān)于直線y=2x的對稱點Q的坐標(biāo),由斜率關(guān)系及中點在y=2x上得到兩對稱點坐標(biāo)之間的關(guān)系,再由點Q在拋物線上,把其坐標(biāo)代入拋物線方程即可求得Q點的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),點A的坐標(biāo)為(xA,yA),則
AP
=(x-xA,y-yA)
,
因為F的坐標(biāo)為(1,0),所以
FA
=(xA-1,yA)
,
AP
=-2
FA
,得(x-xA,y-yA)=-2(xA-1,yA).
x-xA=-2(xA-1)
y-yA=-2yA
,解得
xA=2-x
yA=-y

代入y2=4x,得到動點P的軌跡方程為y2=8-4x.
(2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(t,0).點Q關(guān)于直線y=2x的對稱點為Q(x,y),
y
x-t
=-
1
2
y
2
=x+t
,解得
x=-
3
5
t
y=
4
5
t

若Q在C上,將Q的坐標(biāo)代入y2=4x,得4t2+15t=0,即t=0或t=-
15
4

所以存在滿足題意的點Q,其坐標(biāo)為(0,0)和(-
15
4
,0
).
點評:本題考查了軌跡方程,考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系,考查了代入法求曲線方程,考查了存在性問題的求解方法,屬中檔題.
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π
6
,則
l
r
=
3
3

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(2013•上海)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點P(a,b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-b 是奇函數(shù)”.
(1)將函數(shù)g(x)=x3-3x2的圖象向左平移1個單位,再向上平移2個單位,求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式,并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo);
(2)求函數(shù)h(x)=log2
2x4-x
 圖象對稱中心的坐標(biāo);
(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b,使得函數(shù)y=f(x+a)-b 是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題,請給予證明;如果是假命題,請說明理由,并類比題設(shè)的真命題對它進行修改,使之成為真命題(不必證明).

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(2013•上海)已知向量
a
=(1,k)
b
=(9,k-6)
.若
a
b
,則實數(shù) k=
-
3
4
-
3
4

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