Question

已知正數(shù)a，b滿足a+b=2．
（1）求ab的取值范圍；
（2）求4ab+

1

ab

的最小值；
（3）求ab+

4

ab

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（2）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；
（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）∵a，b＞0，
∴2=a+b≥2

ab

，解得0＜ab≤1．
∴ab的取值范圍是（0，1]；
（2）由（1）可知：ab∈（0，1]，令ab=t，則4t+

1

t

≥2

4t• 1 t

=4，當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴4ab+

1

ab

的最小值是4；
（3）令ab=t，則ab+

4

ab

=t+

4

t

=f（t），由（1）可得t∈（0，1]．
∵f′(t)=1-

4

t2

=

t2-4

t2

＜0，∴函數(shù)f（t）在t∈（0，1]單調(diào)遞減，
因此當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)f（t）取得最小值，f（1）=1+4=5．
即ab+

4

ab

取得最小值5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于中檔題．