Question

（1）如圖，對于任一給定的四面體,找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；

   （2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：，求該正四面體的體積．

Answer 1

（1）       如圖所示，取A₁A₄的三等分點(diǎn)P₂，P₃，A₁A₃的中點(diǎn)M，

 

A₂A₄的中點(diǎn)N，過三點(diǎn)A₂，P₂，M作平面，過三點(diǎn)A₃，P₃，N作平面，因?yàn)锳₂P₂//NP₃，A₃P₃//MP₂，所以平面//平面，再過點(diǎn)A₁，A₄分別作平面與平面平行，那么四個(gè)平面依次相互平行，由線段A₁A₄被平行平面截得的線段相等知，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離相等，故為所求平面。

   （2）解法一：當(dāng)（1）中的四面體為正四面體，若所得的四個(gè)平行平面，每相鄰兩平面之間的距離為1，則正四面體A₁A₂A₃A₄就是滿足題意的正四面體，設(shè)正四面體的棱長為a，以△A₂A₃A₄的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線A₄O為y軸，直線OA₁為z軸建立如圖的右手直角坐標(biāo)系，

令P₂，P₃為A₁A₄的三等分點(diǎn)，N為A₂A₄的中點(diǎn)，有

設(shè)平面A₃P₃N的法向量

有

所以，

因?yàn)?sub>相鄰平面之間的距離為1，所以點(diǎn)A₄到平面A₃P₃N的距離

解得，由此可得，邊長為的正四面體A₁A₂A₃A₄滿足條件。

所以所求正四面體的體積

   

    解法二：如圖，現(xiàn)將此正四面體A₁A₂A₃A₄置于一個(gè)正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，（或者說，在正四面體的四個(gè)面外側(cè)各鑲嵌一個(gè)直角三棱錐，得到一個(gè)正方體），E₁，F(xiàn)₁分別是A₁B₁，C₁D₁的中點(diǎn)，EE₁D₁D和BB₁F₁F是兩個(gè)平行平面，若其距離為1，則四面體A₁A₂A₃A₄即為滿足條件的正四面體。右圖是正方體的上底面，現(xiàn)設(shè)正方體的棱長為a，若A₁M=MN=1，則有

   

    據(jù)A₁D₁×A₁E₁=A₁M×D₁E₁，得，

    于是正四面體的棱長

    其體積

   （即等于一個(gè)棱長為a的正方體割去四個(gè)直角正三棱錐后的體積）