Question

8．某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱AB與地面垂直，燈桿BC與燈柱AB所在的平面與道路走向垂，路燈C采用錐形燈罩，射出的光線與平面ABC的部分截面如圖中陰影部分所示．已知∠ABC=$\frac{2}{3}$π，∠ACD=$\frac{π}{3}$，路寬AD=24米．設(shè)∠BAC=θ$（\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}）$
（1）求燈柱AB的高h(yuǎn)（用θ表示）；
（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置θ的值才能使制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最��？最小值為多少？（結(jié)果精確到0.01米）

Answer 1

分析 （1）在△ACD中與在△ABC中，分別利用正弦定理即可得出；
（2）△ABC中，利用正弦定理可得：BC，再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）在△ACD中，$∠CDA=θ+\frac{π}{6}$，
由$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠CDA}$，得$AC=\frac{AD•sin∠CDA}{sin∠ACD}=16\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，
在△ABC中，$∠ACB=\frac{π}{3}-θ$，
由$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，得$h=\frac{AC•sin∠ACB}{sin∠ABC}=32sin（θ+\frac{π}{6}）sin（\frac{π}{3}-θ）$$（\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}）$．
（2）△ABC中，
由$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，得$BC=\frac{AC•sin∠BAC}{sin∠ABC}=32sin（θ+\frac{π}{6}）sinθ$，
∴$AB+BC=32sin（θ+\frac{π}{6}）sin（\frac{π}{3}-θ）+32sin（θ+\frac{π}{6}）sinθ$=$16sin2θ+8\sqrt{3}$，
∵$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{6}≤2θ≤\frac{π}{3}$，
∴當(dāng)$θ=\frac{π}{12}$時(shí)，AB+BC取得最小值$8+8\sqrt{3}≈21.86$．
故制造路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長(zhǎng)度最小，最小值約為21.86米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．