Question

設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于,兩點, 到直線的距離為,連結(jié)橢圓的四個頂點得到的菱形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的左頂點作直線交橢圓于另一點, 若點是線段垂直平分線上的一點,且滿足,求實數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為；（2）滿足條件的實數(shù)的值為或.

【解析】

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)及到直線的距離為，建立的方程組即得；

（2）由（1）知:, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

應(yīng)用韋達(dá)定理以便于確定線段的中點坐標(biāo)為.

討論當(dāng)，的情況，確定的值.

試題解析：（1）設(shè),的坐標(biāo)分別為,其中

由題意得的方程為:

因到直線的距離為,所以有,解得 1分

所以有 ①

由題意知: ,即 ②

聯(lián)立①②解得:

所求橢圓的方程為 5分

（2）由（1）知:, 設(shè)

根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為,則直線的方程為

把它代入橢圓的方程,消去,整理得:

由韋達(dá)定理得,則,，

，線段的中點坐標(biāo)為 7分

(ⅰ)當(dāng)時, 則有,線段垂直平分線為軸

于是

由,解得: 9分

（ii）因為點是線段垂直平分線的一點,

令,得:，于是

由,解得:

代入,解得:

綜上, 滿足條件的實數(shù)的值為或 13分

考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積.