經市場調查,某種商品在120天內的日銷售量和售價均為時間t(天)的函數(shù),日銷售量與時間的關系用圖(1)的一條折線表示,售價與時間的關系用圖(2)的一條折線表示.
(1)寫出圖(1)表示的日銷售量Q(千克)與時間t的函數(shù)關系式Q=g(t);
寫出圖(2)表示的售價(元/千克)與時間t的函數(shù)關系式P=f(t);
(2)求日銷售額y(元)與時間t的函數(shù)關系,并求出日銷售額最高的是哪一天?最高的銷售額是多少?(注:日銷售額=日銷售量×售價)
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分析:(1)當0<t≤60時,直線過點(0,15),(60,30),求得函數(shù)g(t)的解析式;同理60<t≤120時,求得函數(shù)g(t),得分段函數(shù)g(t);同理可得:當0<t≤60時,函數(shù)f(t),當60<t≤120時,函數(shù)f(t);即分段函數(shù)f(t);
(2)當0<t≤60時,函數(shù)y=g(t)•f(t),計算最大值;當60<t≤120時,函數(shù)y=g(t)•f(t),計算最大值;綜上得:分段函數(shù)y的最大值.
解答:解:(1)當0<t≤60時,直線過點(0,15),(60,30),所以函數(shù)g(t)=
1
4
t+15;
同理60<t≤120時,函數(shù)g(t)=-
1
2
t+60;
∴當日銷售量Q與時間t的函數(shù)關系式Q=g(t)=
1
4
t+15 (0<t≤60)
-
1
2
t+60 (60<t≤120)
;
當0<t≤60時,函數(shù)f(t)=-
1
3
t+40;當60<t≤120時,函數(shù)f(t)=
1
12
t
+15;
∴售價P與時間t的函數(shù)關系式P=f(t)=
-
1
3
t+40 (0<t≤60)
1
12
t+15 (60<t≤120)
;
(2)根據題意,當0<t≤60時,函數(shù)y=g(t)•f(t)=-
1
12
t2
+5t+600,t=30時,y有最大值,是675;當60<t≤120時,函數(shù)y=g(t)•f(t)=-
1
24
t2 -
5
2
t+900
,無最大值;
綜上知:日銷售額y與時間t的函數(shù)為:y=
-
1
12
t2 +5t+600 (0<t≤60)
-
1
24
t2 -
5
2
t+900 (60<t≤120)
;
且當t=30時,y最大,即在第30天的時候銷售額最大,最高額為675元.
點評:本題利用圖象考查了分段函數(shù)的應用;利用圖象求函數(shù)解析式時,要注意圖象上的關鍵點,通過關鍵點的坐標,可得出所求的解析式.
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12
t+30(1≤t≤30,t∈N)
,后20天價格為g(t)=45(31≤t≤50,t∈N).
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,后20天價格為

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   (2)求日銷售額S的最大值。

 

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