Question

下列各論述中正確是有

 

（填序號）
①y=sinx+

1

sinx

的最小值為2；
②函數(shù)f（x）=e^x+4x-3的零點在區(qū)間（

1

4

，

1

2

）內；
③函數(shù)y=sinx+cosx（x∈R）的最大值為2；
④y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx圖象的一條對稱軸為x=

π

6

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質,簡易邏輯

分析：①當sinx＜0時，y=sinx+

1

sinx

＜0，可知最小值應該小于0；
②由函數(shù)f（x）=e^x+4x-3，可得f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調遞增，又f(

1

4

)f(

1

2

)＜0，可得函數(shù)f（x）的唯一零點在區(qū)間（

1

4

，

1

2

）內；
③函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，即可得出最大值；
④利用倍角公式和兩角和差的正弦公式可得y=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

4

，當x=

π

6

時，sin(2×

π

6

+

π

6

)=1，即可判斷出x=

π

6

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸．

解答： 解：①當sinx＜0時，y=sinx+

1

sinx

＜0，因此①不正確；
②由函數(shù)f（x）=e^x+4x-3，可得f′（x）=e^x+4＞0，
∴函數(shù)f（x）在R上單調遞增，又f(

1

4

)f(

1

2

)=（

4	e

-2）(

e

-1)＜0，
∴函數(shù)f（x）的唯一零點在區(qū)間（

1

4

，

1

2

）內，因此正確；
③函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，其最大值為

2

，因此不正確；
④y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x=

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

4

，當x=

π

6

時，sin(2×

π

6

+

π

6

)=1，因此x=

π

6

是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，因此正確．
綜上可得：只有②④正確．
故答案為：②④．

點評：本題綜合考查了三角函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)零點的判定定理、兩角和差的正弦公式、倍角公式的歌基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．