已知函數(shù)f(x)=
13
x3-(a-1)x2+b2x,其中a,b為實(shí)常數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)為奇函數(shù)的充要條件;
(Ⅱ)若任取a∈[0,4],b∈[0,3],求函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)的概率.
分析:(Ⅰ)由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)得到f(-x)=-f(x),代入函數(shù)解析式,得到恒成立的方程,整理對(duì)應(yīng)相等,即可求得常數(shù)a的值;(Ⅱ)函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0恒成立,∴△≤0解得a,b的一個(gè)關(guān)系式,根據(jù)a∈[0,4],b∈[0,3],畫出圖象,即可求得函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)的概率.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)若f(x)任意x∈R,
有f(x)+f(-x)=0
1
3
x3-(a-1)x2+b2x-
1
3
x3-(a-1)x2-b2x=0

∴2(a-1)x2=0∴a=1
當(dāng)a=1 時(shí),f(x)=
1
3
x3+b2x

f(-x)=-
1
3
x3-b2x=-f(x)
,所以f(x)為奇函數(shù).
故f(x)為奇函數(shù)的充要條件是a=1.

(Ⅱ)因?yàn)閒'(x)=x2-2(a-1)x+b2
若f(x)在R上是增函數(shù),則對(duì)任意x∈R,f'(x)≥0恒成立.
所以△=4(a-1)2-4b2≤0,即|a-1|<|b|.
設(shè)“f(x)在R上是增函數(shù)”為事件A,則事件A對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)閧(a,b)||a-1|<|b|}.
又全部試驗(yàn)結(jié)果Ω=(a,b)|0≤a≤4,0≤b≤3,如圖.
所以P(A)=
S圖象
SΩ
 
=
3×4-
1
2
×1×1-
1
2
×3×3 
3×4
=
7
12

故函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)的概率為
7
12
點(diǎn)評(píng):(Ⅰ)考查函數(shù)的奇偶性的定義,以及方程的思想方法求參數(shù)的值,特別注意函數(shù)的定義域;(Ⅱ)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解,是導(dǎo)數(shù)與幾何概型相結(jié)合的題目,新穎,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,屬中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( 。

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1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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