Question

拋物線y²=8x的頂點(diǎn)為O，A（1，0），過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為

π

4

的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，則△AMN的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|．直線為x-y-2=0，即x=2+y，代入y²=8x得：y²-8y-16=0，由此能求出△OPQ的面積

解答： 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|．
過(guò)拋物線y²=8x的焦點(diǎn)（2，0），傾斜角為

π

4

的直線為x-y-2=0，
即x=2+y，代入y²=8x得：
y²=8（2+y），即y²-8y-16=0，∴y₁+y₂=8，y₁y₂=-16，
∴|y₁-y₂|=

64+64

=8

2

，
∴S=

1

2

|AF|•|y₁-y₂|=4

2

．
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，在涉及焦點(diǎn)弦的問(wèn)題時(shí)常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，進(jìn)而利用拋物線的定義求得問(wèn)題的答案．