設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn滿足Sn=(
an+1
2
2
(Ⅰ) 求a1,a2,a3,a4;
(Ⅱ)推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并進(jìn)行證明;
(Ⅲ)設(shè)bn=
1
anan+1
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn
m
19
對(duì)一切n∈N*成立,求最小正整數(shù)m.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由Sn=(
an+1
2
2,利用遞推思想能求出a1,a2,a3,a4
(Ⅱ)猜測(cè)an=2n-1,an=Sn-Sn-1=(
an+1
2
)2
-(
an-1+1
2
)2
,從而能證明an=2n-1.
(Ⅲ)bn=
1
anan+1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,由此利用裂項(xiàng)求和法能求出最小正整數(shù)m=10.
解答: (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)∵Sn=(
an+1
2
2,
∴a1=S1=(
a1+1
2
2,由an>0,解得a1=1,
S2=1+a2=(
a2+1
2
)2
,由an>0,解得a2=3,
S3=4+a3=(
a3+1
2
)2
,由an>0,解得a3=5,
S4=9+a4=(
a4+1
2
)2
,由an>0,解得a4=7.…(3分)
(Ⅱ)猜測(cè)an=2n-1…(4分)
證明:Sn=(
an+1
2
)2
,Sn-1=(
an-1+1
2
)2
,
an=Sn-Sn-1=(
an+1
2
)2
-(
an-1+1
2
)2
(n≥2)…(6分)
2(an+an-1)=(an+an-1)(an-an-1),
∴an-an-1=2,∴an=2n-1(n≥2)…(8分)
a1=1滿足上式,∴an=2n-1.…(9分)
(Ⅲ)bn=
1
anan+1
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
…(10分)
Tn=
1
2
(1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2n-1
-
1
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n+1
)<
1
2
,…(12分)
Tn
m
19
對(duì)一切n∈N*成立,則需
1
2
m
19
,∴m≥
19
2

最小正整數(shù)m=10.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的前4項(xiàng)的求法,考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的鋪想及證明,考查滿足條件的最小正整數(shù)的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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設(shè)a>1,函數(shù)f(x)=ax在區(qū)間[1,2]上的最大值是最小值的2倍,則a=( 。
A、2
B、3
C、2
2
D、4

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A、10,5B、10,1
C、5,1D、以上都不對(duì)

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n+2
n
an(n∈N*),試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an

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已知(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A、a<-
3
5
或a>1
B、-
3
5
<a<1
C、-
3
5
<a≤1或a=-1
D、-
3
5
<a≤1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)y=cot(x+
3
)的單調(diào)區(qū)間是
 

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(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列{
1
dn
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明Tn
15
16

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}中,a1=1,它的前n項(xiàng)和為Sn,且
2Sn
(n+1)2
=
2Sn-1
n2
+
1
n(n+1)
(n≥2,n∈N*).
(Ⅰ)證明:
2Sn
(n+1)2
+
1
n+1
=1,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=nan,證明:對(duì)一切正整數(shù)n,有
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
7
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若實(shí)數(shù)x,y滿足10x=
2
,且10y=
5
,則x+y=
 

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