Question

如圖，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
（I）求三棱柱C-A₁B₁C₁的體積V；
（II）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由A₁D⊥平面ABCD，可得A₁D為兩個底面的距離即三棱錐C-A₁B₁C₁的高，再利用三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V=計算公式即可得出；
（Ⅱ）通過建立如圖所示的空間直角坐標系，先求出平面ADB₁的法向量，利用BD₁的方向向量與其法向量的夾角即可得出線面角．
解答：解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABCD，∴A₁D⊥AD，A₁D即為兩個底面的距離．
在Rt△A₁DA中，，AA₁=2，AD=1，
由勾股定理得．
又=．
∴三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V==；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A₁（0，0，），B₁（0，1，），D₁（-1，0，），C₁（-1，1，）．
∴，，．
設平面ADB₁的法向量為，
則，即，
令z=1，則y=，x=0，∴．
設直線BD₁與平面ADB₁所成角為θ，
則===．
點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系的方法求空間角、空間距離、線面垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．