Question

在△ABC中，若

sinB

sinA

=2cos(A+B)，則tanB的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：由A和B為三角形的內(nèi)角，得到sinA和sinB都大于0，進(jìn)而確定出C為鈍角，利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡已知等式的左邊，得到sinB=-2sinAcosC，再由sinB=sin（A+C），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得到tanC=-3tanA，將tanB利用誘導(dǎo)公式及三角形的內(nèi)角和定理化簡為-tan（A+C），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將tanC=-3tanA代入，變形后利用基本不等式求出tanB的范圍，即可得到tanB的最大值．

解答：解：∵sinA＞0，sinB＞0，
∴

sinB

sinA

=2cos（A+B）=-2cosC＞0，即cosC＜0，
∴C為鈍角，sinB=-2sinAcosC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=-2sinAcosC，即cosAsinC=-3sinAcosC，
∴tanC=-3tanA，
∴tanB=-tan（A+C）=-

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

-2tanA

1+3tan2A

=

2

1 tanA +3tanA

≤

2

2 3

=

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

tanA

=3tanA，即tanA=

3

3

時(shí)取等號，
則tanB的最大值為

3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系及公式是解本題的關(guān)鍵．