Question

14．設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，則a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c的最小值是-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知式子和配方法及不等式可得a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c≥$\frac{1}{2}$[（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2]-2，由式子的幾何意義可得．

解答 解：∵實數(shù)a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，
∴a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$c≥a+$\sqrt{3}$b+$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$b²
=$\frac{1}{2}$[（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2]-2，
而（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2表示點（a，b）到點（-1，-$\sqrt{3}$）的距離平方，
又點（a，b）在單位圓a²+b²=1即內(nèi)部，故最小距離為$\sqrt{（-1）^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}$-1=1，
故（a+1）²+（b+$\sqrt{3}$^）2的最小值為1，原式的最小值為-$\frac{3}{2}$，
故答案為：-$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查式子的最值，由不等式和配方法轉(zhuǎn)化為數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．