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7.已知拋物線y2=2px(p>0)存在關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A、B,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是( �。�
A.(0,1)B.(0,+∞)C.(0,23]D.(0,23

分析 法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn),C(x0,y0)為AB的中點(diǎn).設(shè)AB的直線方程為y=kx+b.由直線AB與x+y=1垂直,得k=1,由由{y=x+by2=2px,得到 x2+(2b-2p)x+b2=0,由此能求出實(shí)數(shù)p的取值范圍.
法二:利用拋物線的參數(shù)方程,設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2px12,2px1),(2px22,2px2),又二者關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱,則可列出等價(jià)方程,建立p的不等式.

解答 解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn),
C(x0,y0)為AB的中點(diǎn).設(shè)AB的直線方程為y=kx+b.
由直線AB與x+y=1垂直,得k=1…(3分)
{y=x+by2=2px,
得到 x2+(2b-2p)x+b2=0…(5分)
△=4p(p-2b)>0,得p>2b,①
∴x1+x2=2p-2b,x1x2=b2,
C(p-b,y0)代入y=x+b中,得到C(p-b,p)
同時(shí)C又在x+y=1上得b=2p-1…②
由①②可得p<23,
∵p>0,∴0<p<23
實(shí)數(shù)p的取值范圍是(0,23).
解法二:設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(2px12,2px1),(2px22,2px2)且關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱,
則有{px21+x22+px1+x2=12px2x12px22x21=1,
由第二個(gè)方程可得x1+x2=1代入第一個(gè)方程,
x12+x22=1pp>0,故0<p<1.
又由x21+x22212(xx1+x2),
1pp12
即0<p23為所求.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.

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