Question

6．某大學(xué)在自主招生面試環(huán)節(jié)中．七位評(píng)委老師為陳小偉，李小明打出了分?jǐn)?shù)，要求統(tǒng)計(jì)組、復(fù)核組依次打出的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，復(fù)核組拿到了有兩處污染的成績(jī)單（成績(jī)?yōu)?0-100的整數(shù)）如表

考生姓名	評(píng)委01	評(píng)委02	評(píng)委03	評(píng)委04	評(píng)委05	評(píng)委06	評(píng)委07
陳小偉	99	70	85	84	8■	85	81
李小明	79	9■	84	84	86	84	87

（1）統(tǒng)計(jì)組使用莖葉圖記錄了兩位同學(xué)的成績(jī)，若評(píng)委05給陳小偉打出的分?jǐn)?shù)為84分，評(píng)委02給李小明打出的分?jǐn)?shù)為91分．請(qǐng)你結(jié)合兩處污染的成績(jī)單數(shù)據(jù)完成兩位同學(xué)成績(jī)的莖葉圖1，并比較兩位同學(xué)成績(jī)的穩(wěn)定性．
（2）若復(fù)合組將考生成績(jī)?nèi)サ粢粋�(gè)最高分和一個(gè)最低分，根據(jù)有兩處污染的成績(jī)單，你能否判斷出兩位同學(xué)平均水平的高低？
（3）該大學(xué)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了n名學(xué)生的面試成績(jī)，制作了如圖2所示的頻率分布直方圖．
①已知圖表中第四小組（即[70，80）內(nèi)）的頻數(shù)為15，求n的值；
②請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息估計(jì)樣本的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)（精確到0.01）
參考公式：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x₁，x₂，…x_n，$\overline{x}$，s分別表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，則：
s=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}}{n}}$．

Answer 1

分析 （1）畫(huà)出莖葉圖，計(jì)算平均數(shù)以及方差，從而判斷李小明的成績(jī)穩(wěn)定；
（2）設(shè)評(píng)委05給學(xué)生陳小偉打出的分?jǐn)?shù)為：80+m，分別求出其平均分，作差判斷即可；
（3）（i）求出第四小組的頻率，根據(jù)第四小組（即[70，80）內(nèi)）的頻數(shù)是15，求出n的值即可，（ii）設(shè)出中位數(shù)，得到估計(jì)值即可．

解答 解：（1）兩位同學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示：
，
$\overline{{x}_{陳}}$=$\frac{70+84+85+84+85+81+99}{7}$=84，
${\overline{x}}_{李}$=$\frac{79+84+84+86+84+87+91}{7}$=85，
故${s}_{{陳}_{\;}}$=$\sqrt{\frac{{（70-84）}^{2}+…{+（81-84）}^{2}{+（99-84）}^{2}}{7}}$=$\sqrt{\frac{432}{7}}$，
同理可得：s_李=$\sqrt{\frac{80}{7}}$，s_李＜s_陳，
故考生李小明的成績(jī)較為穩(wěn)定；
（2）設(shè)評(píng)委05給學(xué)生陳小偉打出的分?jǐn)?shù)為：80+m，
（m∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}），
將考生成績(jī)?nèi)サ粢粋�(gè)最高分和一個(gè)最低分，
陳小偉的成績(jī)數(shù)據(jù)分別為：85，84，80+m，85，81，
${\overline{x}}_{陳}$=$\frac{85+84+80+m+85+81}{5}$，
${\overline{x}}_{李}$=$\frac{84+84+86+84+87}{5}$，且${\overline{x}}_{陳}$-${\overline{x}}_{李}$=$\frac{m-10}{5}$，
又m∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
∴${\overline{x}}_{陳}$-${\overline{x}}_{李}$＜0，
故李小明同學(xué)的平均水平較高；
（3）（i）∵10×（0.004+0.006+0.016+0.020+0.024+x）=1，
解得：x=0.030，
第四小組的頻率為：0.030×10=0.30，
又第四小組（即[70，80）內(nèi)）的頻數(shù)是15，
故$\frac{15}{n}$=0.30，解得：n=50；
（ii）由頻率分布直方圖可知[70，80）這一組對(duì)應(yīng)的小長(zhǎng)方形最高，估計(jì)眾數(shù)是75，設(shè)中位數(shù)是（70+x），
則0.04+0.06+0.20+0.03x=0.5，解得：x≈6.67，
估計(jì)中位數(shù)是76.67，
45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=76.20，
估計(jì)平均數(shù)是76.20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，考查莖葉圖、直方圖的應(yīng)用，是一道中檔題．