Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．
（1）證明：a_n+1+a_n=4n+2；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對(duì)于一切正整數(shù)n成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．可得a_n+1=S_n+1-S_n，化簡(jiǎn)整理即可得出．
（2）在S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n中，令n=1，得a₁=2，又a₂+a₁=6，解得a₂=4．利用遞推關(guān)系可得：a_n+2-a_n=4，數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為4的等差數(shù)列，即可得出．
（3）f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對(duì)于一切正整數(shù)n成立，等價(jià)于$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$對(duì)于一切正整數(shù)n成立．令g（n）=$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$），通過作商判斷其單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵對(duì)一切正整數(shù)n都有S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=$（n+1）^{2}+\frac{1}{2}{a}_{n+1}$-（n²+$\frac{1}{2}$a_n），
∴a_n+1+a_n=4n+2．
（2）解：在S_n=n²+$\frac{1}{2}$a_n中，令n=1，得a₁=2，
又a₂+a₁=6，解得a₂=4．
∵a_n+1+a_n=4n+2，a_n+2+a_n+1=4n+6，
兩式相減，得a_n+2-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為4的等差數(shù)列，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=a₂+$（\frac{n}{2}-1）$×4=2n．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，由上式及（1）知：a_n=4n+2-a_n+1=2n，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2n．
（3）解：f（n）=（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a\sqrt{2n+1}}$對(duì)于一切正整數(shù)n成立，
等價(jià)于$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$）＜$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$對(duì)于一切正整數(shù)n成立．，
令g（n）=$\sqrt{2n+1}$（$1-\frac{1}{{a}_{1}}$）（$1-\frac{1}{{a}_{2}}$）…（$1-\frac{1}{{a}_{n}}$），
則由（2）知g（n）＞0，
∴$\frac{g（n+1）}{g（n）}$=$\frac{\sqrt{2n+3}（1-\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{\sqrt{2n+3}（1-\frac{1}{2n+2}）}{\sqrt{2n+1}}$=$\frac{\sqrt{（2n+2）^{2}-1}}{2n+2}$＜1．
∴g（n+1）＜g（n），即g（n）的值隨n的增大而減小．
∴n∈N^*時(shí)，g（n）的最大值為g（1）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
若存在實(shí)數(shù)a，符合題意，則必有$\frac{2{a}^{2}-3}{2a}$$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即a（a-$\sqrt{3}$）$（a+\frac{\sqrt{3}}{2}）$＞0．
解得$-\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜0，或a$＞\sqrt{3}$．
因此，存在實(shí)數(shù)a，符合題意，其取值范圍為$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$∪$（\sqrt{3}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“放縮法”、不等式的解法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．